Kritis – Dalam termodinamika, titik kritis adalah titik akhir kurva kesetimbangan fasa. Contoh yang paling umum adalah titik kritis uap-cair, titik akhir kurva suhu-tekanan yang menunjukkan kondisi dimana fasa uap dan cair dapat bersama. Pada titik kritis, didefinisikan dengan temperatur kritis Tc dan tekanan kritis pc, batas-batas fasa akan hilang. Titik kritis dan Contohnya
Di Mana Terjadinya Nilai Ekstrim?
Ada tiga jenis titik yang bisa jadi merupakan tempat terjadinya nilai ekstrim. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi ƒ yang termasuk ke dalam salah satu dari tiga tipe ini disebut titik kritis ƒ.
Berikut adalah ketiga tipe titik kritis yang di maksud.
1.Titik-titik ujung
Biasanya fungsi yang akan kita cari nilai maksimum dan minimumnya dibatasi oleh suatu selang (interval) sebagai daerah asalnya. Beberapa selang memiliki titik ujung, sebagian lagi tidak. Misal Interval
- a ≤ x ≤ b memuat titik ujung kanan dan kiri
- a ≤ x < b hanya memuat titik ujung kiri
- a < x ≤ b hanya memuat titik ujung kanan
- a < x < b tidak memuat titik ujung satupun.
Nilai-nilai ekstrim yang terdefinisi pada selang tertutup dapat terjadi pada titik-titik ujung intervalnya.
2. Titik Stasioner
Jika c sebuah titik dengan ƒ'(c)=0 , maka c adalah titik stasioner. Faktanya garis singgung pada titik stasioner sejajar sumbu x. Nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik stasioner.
3. Titik Singular
Titik singular merupakan titik pada grafik ƒ dalam keadaan sudut tajam, garis singgung vertical, atau berupa lompatan. Walaupun dalam masalah praktis hal ini sangat langka, nilai ekstrim dapat terjadi pada titik singular.
Contoh 1
Cari titik-titik kritis dari ƒ (x) = x3 -12×2 + 20 , pada – 1/2 ≤ x ≤ 10
Penyelesaian:
(i) Titik-titik ujung adalah – 1/2 dan 10.
(ii) Untuk mencari titik-titik stasioner kita selesaikan ƒ’ (x) = 0
ƒ(x) = x3 -12×2 + 20
ƒ'(x) =3×2 – 24x
3×2 – 24x = 0
3x(x – 8) = 0
3x = 0 atau x-8 = 0
x = 0/3 8 = 0
x = 0
Sehingga kita peroleh koordinat titik kritisnya
Contoh 2
Cari titik-titik kritis dari ƒ(x) = x3 – 6×2 -15x, pada 2 ≤ x ≤ 6.
Penyelesaian:
(i) Titik-titik ujung adalah 1 dan 6.
(ii) Untuk mencari titik-titik stasioner kita selesaikan ƒ’ (x) = 0
ƒ(x) = x3 – 6×2 -15x
ƒ'(x) = 3×2 – 12x -15
3×2 -12x – 15 = 0
3(x2 – 4x – 5) = 0
3(x – 5)(x +1) = 0
x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 x = -1
Hanya x = 5 yang jatuh di dalam selang yang ditentukan, sehingga x = – 1 dianggap tidak memenuhi.
(iii) Tidak terdapat titik-titik singular.
Jadi titik-titik kritis adalah titik-titik dengan absis { 1, 5, 6 }
Lalu koordinat titik kritis, dapat kita lengkapi dengan mensubstitusi absis-absis tersebut ke dalam fungsi
ƒ(x) = x3 – 6×2 -15x
ƒ(1) = (1)3 – 6(1)2 -15(1) = 1 – 6 – 15 = -20
ƒ(5) = (5)3 – 6(5)2 -15(5) = 125 – 150 – 75 = -100
ƒ(6) = (6)3 – 6(6)2 -15(6) = 216 – 216 – 90 = -90
Sehingga kita peroleh koordinat titik kritis adalah (1,-20), (5,-100), (6,-90)
Kedua titik stasioner jatuh di dalam selang yang ditentukan.
(iii) Tidak terdapat titik-titik singular.
Jadi titik-titik kritis adalah titik-titik dengan absis
Lalu koordinat titik kritis, dapat kita lengkapi dengan mensubstitusi absis-absis tersebut ke dalam fungsi
ƒ(x) = x3 -12×2 + 20
Cara Menentukan Titik Kritis – Mathematics
