FOKUS – Apakah Anda pernah bertanya-tanya bagaimana cara menghitung besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran? Jika ya, maka artikel ini adalah untuk Anda. Di sini, Anda akan belajar tentang pengertian, rumus, dan contoh soal mengenai sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Artikel ini juga akan memberikan Anda beberapa tips dan trik untuk memahami konsep ini dengan mudah dan cepat. Mari kita mulai!
Daftar Isi
Pengertian Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran
Sebelum kita membahas rumus dan contoh soal, kita perlu mengetahui apa itu sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Jika ada dua tali busur yang saling berpotongan di dalam lingkaran, maka akan terbentuk empat sudut di sekitar titik potong. Keempat sudut ini disebut sebagai sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.
Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran
Untuk menghitung besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran, kita dapat menggunakan rumus berikut:
∠APB = ½ × (∠AOB + ∠COD)
∠BPC = ½ × (∠AOD + ∠BOC)
∠CPD = ½ × (∠AOB + ∠COD)
∠DPA = ½ × (∠AOD + ∠BOC)
Rumus ini didasarkan pada sifat sudut pusat dan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang menghubungkan pusat lingkaran dengan dua titik pada lingkaran. Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang mengapit busur yang sama. Sifat sudut pusat dan sudut keliling adalah:
Sudut pusat = 2 × sudut keliling
Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat menurunkan rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Misalnya, untuk menurunkan rumus ∠APB.
∠APB = ∠CPD
Selain itu, kita juga dapat melihat bahwa ∠APB dan ∠PBD adalah sudut keliling yang mengapit busur AD, sedangkan ∠AOB dan ∠COD adalah sudut pusat yang mengapit busur AD. Dengan menggunakan sifat sudut pusat dan sudut keliling, kita dapat menulis:
∠AOB = 2 × ∠APB
∠COD = 2 × ∠PBD
Jika kita menjumlahkan kedua persamaan ini, kita akan mendapatkan:
∠AOB + ∠COD = 2 × (∠APB + ∠PBD)
Karena ∠APB = ∠CPD, maka kita dapat menulis:
∠AOB + ∠COD = 2 × (∠APB + ∠CPD)
Jika kita membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2, kita akan mendapatkan:
½ × (∠AOB + ∠COD) = ∠APB + ∠CPD
Karena ∠APB + ∠CPD = 180°, maka kita dapat menulis:
½ × (∠AOB + ∠COD) = 180°
Jika kita mengurangi kedua ruas persamaan ini dengan ∠CPD, kita akan mendapatkan:
½ × (∠AOB + ∠COD) – ∠CPD = 180° – ∠CPD
Karena ∠APB = ∠CPD, maka kita dapat menulis:
½ × (∠AOB + ∠COD) – ∠APB = 180° – ∠APB
Jika kita menyederhanakan persamaan ini, kita akan mendapatkan:
∠APB = ½ × (∠AOB + ∠COD)
Rumus ini adalah rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran untuk ∠APB. Dengan cara yang sama, kita dapat menurunkan rumus untuk sudut-sudut lainnya.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.
Contoh 1
Diketahui lingkaran berpusat di O dengan dua tali busur AB dan CD yang berpotongan di titik P. Jika ∠AOD = 120° dan ∠BOC = 80°, tentukan besar ∠APD dan ∠BPC!
Pembahasan:
Untuk menentukan besar ∠APD, kita dapat menggunakan rumus:
∠APD = ½ × (∠AOD + ∠BOC)
Substitusikan nilai ∠AOD = 120° dan ∠BOC = 80° ke dalam rumus, kita akan mendapatkan:
∠APD = ½ × (120° + 80°)
∠APD = ½ × 200°
∠APD = 100°
Untuk menentukan besar ∠BPC, kita dapat menggunakan rumus:
∠BPC = ½ × (∠AOD + ∠BOC)
Substitusikan nilai ∠AOD = 120° dan ∠BOC = 80° ke dalam rumus, kita akan mendapatkan:
∠BPC = ½ × (120° + 80°)
∠BPC = ½ × 200°
∠BPC = 100°
Jadi, besar ∠APD dan ∠BPC adalah 100°.
Contoh 2
Diketahui lingkaran berpusat di O dengan dua tali busur AC dan BD yang berpotongan di titik P. Jika ∠APB = 40° dan ∠BPC = 60°, tentukan besar ∠AOB dan ∠COD!
Pembahasan:
Untuk menentukan besar ∠AOB, kita dapat menggunakan rumus:
∠APB = ½ × (∠AOB + ∠COD)
Substitusikan nilai ∠APB = 40° ke dalam rumus, kita akan mendapatkan:
40° = ½ × (∠AOB + ∠COD)
Jika kita kalikan kedua ruas persamaan ini dengan 2, kita akan mendapatkan:
80° = ∠AOB + ∠COD
Jika kita kurangi kedua ruas persamaan ini dengan ∠COD, kita akan mendapatkan:
80° – ∠COD = ∠AOB
Untuk menentukan besar ∠COD, kita dapat menggunakan rumus:
∠BPC = ½ × (∠AOD + ∠BOC)
Substitusikan nilai ∠BPC = 60° ke dalam rumus, kita akan mendapatkan:
60° = ½ × (∠AOD + ∠BOC)
Jika kita kalikan kedua ruas persamaan ini dengan 2, kita akan mendapatkan:
120° = ∠AOD + ∠BOC
Karena ∠AOD dan ∠BOC adalah sudut-sudut pusat yang berhadapan, maka mereka memiliki besar yang sama, yaitu:
∠AOD = ∠BOC
Jika kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan sebelumnya, kita akan mendapatkan:
120° = 2 × ∠AOD
